"숫자 없는 수학하기" <수학이 필요한 순간, 김민형, 편집부, 인플루엔셀, 2020)

4일차 (p.219~324 끝) : "숫자 없는 수학하기" <수학이 필요한 순간, 김민형, 편집부, 인플루엔셀, 2020)

 

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수학이 필요한 순간

 

6강 우주의 실체, 모양과 위상과 계산

 

위상수학이란 모양을 공부하는 수학의 분야 중에서 가장 근본입니다. 점, 선, 삼각면 등 간단한 형태들을 이어 붙여서 만들 수 있는 모양들을 예와 같이 기호화하는 것이지요. - p.224

 

위상수학은 보통 거시적인 기하라고 설명합니다. 정밀한 기하는 무시하고, 크게 보았을 때 모양이 어떻게 단순한 형태로 조립되어 있는지가 기호로 저장된다는 뜻입니다. - p.225

 

18세기 수학자 오일러는 점, 선, 삼각면으로 이루어진 임의의 물체가 있으면 다음과 같은 양이 중요하다는 발견을 했습니다.

면의 갯수 - 선의 갯수 + 점의 갯수 - p.225~226

 

오일러 수에서 중요한 것은 특정 모양의 오일러 수가 위상에만 의존한다는 사실입니다. 그러니까 위상이 같은 두 모양은 같은 오일러 수를 가지게 됩니다. - p.228

 

현대의 위상수학에서는 오일러수 보다 훨씬 강력한 ‘모양계산법’을 약 150년에 걸쳐서 개발해왔습니다. 우리 눈에 보이는 것은 구체적인 그림이지만 컴퓨터에는 저런 식으로 저장이 되죠. - p.234

 

빛이 눈의 망막에 부딪쳐 어떤 화학 작용이 일어나면 그 정보가 뇌로 전해지고 전기파로 돌아다니면서 뇌세포의 네트워크를 껐다 켰다 합니다. 제가 말하고 싶은 건, 이게 사실 모두 일종의 수학적 작용이라는 겁니다. - p.235

 

 

기하학에서 일어났던 혁명적인 사건이 세 가지 있습니다.

첫째 사건은 17세기 페르마와 데카르드입니다. 좌표의 발견 - 원의 방정식

둘째 사건은 18시기 말 19세기 중반에 이루어집니다. 바로 ‘내면기하’에 대한 것입니다.

셋째 혁명은 일반인들한테 거의 잘 알려져 있지 않은 이론입니다. 알렉산더 그로텐다크라는 희한한 수학자가 있습니다. 1950년대부터 활동을 시작해서 1960년대에 집중적으로 기하학과 수학 전반에 굉장히 새로운 기초를 제시했죠. - p.237~243

 

 

 

마치며

 

수학과 자연의 관계 - “수학은 발명된 것인가, 발견된 것인가.” - 요즘 수학자들 사이에서도 발명이라는 입장을 강조하는 사람들이 굉장히 많아요. - 창조적인 활동이다. - p.251

 

‘수학이 발명됐느냐, 발견됐느냐’는 질문은 조금 더 뜻을 분명하게 밝힐 필요가 있습니다. … 학문이라는 것은 인간이 현상을 이해하기 위해서 만들어낸 문화의 산물이니까 역사적인 측면, 전통, 언어, 관습, 이 모든 것과 긴밀하게 엮어 있습니다. 그래서 실제 의미 있는 질문은 학문 수학에 대한 것이 아니고 ‘수학에서 공부하는 개체들이 발명되는 것이냐, 발견되는 것이냐’하는 겁니다. - p.253

 

수는 진짜 세상에 있는 건가요. 아니면 우리가 그냥 발명한 것일까요? - p.253

 

수학적 구조에 대해서도 3가지로 구분해야 함.

1. 자연에 있는 구조 2. 발명되는 기계 같은 구조 3.공상이나 언어 - p.259

 

수학적인 증명이 무엇이냐 물어보면, 그게 무슨 특별한 사고라고 생각하는 사람들이 있습니다. 수학은 공리로부터 출발하여 순수 논리만 적용해서 결론을 얻어내는 학문이라는 인식이 그렇습니다. - p.260

 

수학에서 새로운 연구 논문을 저널에 게재할 때 자격 요건이 3가지 있습니다.

1. 이전에 하지 않았던 것이어야 합니다.

2. ‘맞는 이론’이어야 한다.

3. 의미 있는 질문이어야 한다. - p.261~262

 

리만 가설은 가우스와 리만이 소수의 분포를 열심히 계산하면서 패턴을 찾으려는 실험을 하다가 나온 것이지요. - p.262

 

수학은 정답을 찾는 게 아니라, 인간이 답을 찾아가는데 필요한 명료한 과정을 만드는 일이라고 생각합니다. 우리가 맨 처음에 했던 질문이 기억나나요? ‘수학이란 무엇인가’라는 질문이었습니다. … 우리는 수학에 대해, 수학적으로 사고한다는 것에 대해 느끼고 있습니다. 더 탐구하게 되고, 생각하게 되겠지요. 무엇보다 수학이 이제 특정한 논리학이나 기호학과 같은 학문이 아니라, 우리가 세상을 이해하고 설명하는 방식이라는 것을 이해했을 겁니다. … 정답부터 빨리 찾으려고 하기보다 좋은 질문을 먼저 던지려고 할 때, 저는 그것이 수학적인 사고라고 생각합니다. 수학적 사고를 통해서만 우리는 좋은 질문을 던질 수 있고, 우리가 찾은 답이 의미 있는지 확인할 수 있다고 말할 수 있습니다. - p.266

 

 

 

특강 : 숫자 없이 수학을 이해하기

 

‘수학이 무엇인가’라고 물었을 때 가장 먼저 떠오르는 답이 ‘숫자’였다고 했지요? 엄밀하게 말해 숫자와 수는 다릅니다. - p.269

 

수가 무엇이냐는 질문에는 비교적 쉽게 답할 수 있습니다. 수는 ‘수체계를 이루는 여러 원소 중 하나’입니다. - p.270

 

결합법칙이 성립하는 연산이란 상당히 드문 구조입니다. 아무렇게나 정의한다고 만족되는 것은 아니죠. 강력한 제약 조건에 따라서 짜임새 있게 만드는 연산입니다. - p.282

 

수학을 배울 때 가장 먼저 배우는 연산이 덧셈과 곱셈입니다. 그런데 당연한 연산을 수체계 안에서 보니 원소들 간의 관계를 나타내는 특별한 성질이 있는 듯합니다. 덧셈과 곱셈의 차이은 무엇입니까? - p.285

 

의미 있는 단어들을 의미 없는 단어들로 적당한 둘러싸는 것이 굉장히 중요하다. - p.291

 

인코딩(기호화)과 디코딩(반기호화) : 기호화해서 전하고 다시 기호를 의미 있게 바꾸면서 권역을 바꾸는 겁니다.

 

가장 기본적인 인코딩-디코팅은 자연 정보를 컴퓨터 언어로 바꾸는 겁니다. 보통 우리가 쓰는 정도는 언어도 있고 이미지도 있고 소리도 있습니다. 그것을 우선 컴퓨터 가 쓰는0과 1로만 이루어진 언어로 바꿔야 하지요. - p.295

 

컴퓨터 언어는 수이기 때문에 오가는 정보는 이미 수로 처리되어 있습니다. 그러니까 우리가 관심 있는 정보는 모두 수라고 가정하겠습니다. - p.317

 

 

 

빛이 눈의 망막에 부딪쳐 어떤 화학 작용이 일어나면 그 정보가 뇌로 전해지고
전기파로 돌아다니면서 뇌세포의 네트워크를 껐다 켰다 합니다.

“수학은 발명된 것인가, 발견된 것인가.”

수는 진짜 세상에 있는 건가요. 아니면 우리가 그냥 발명한 것일까요?

수학은 정답을 찾는 게 아니라, 인간이 답을 찾아가는데 필요한 명료한 과정을 만드는 일

수가 무엇이냐

 

 

단상) 6강, 마치며, 특강

- 수학을 하되 수학적 사고를 해야 하며, 수학적 답인 정답을 말하는 것도 중요하지만, 답보다는 질문을 하는 수학적 사고를 해야 한다고 한다. 나는 얼마나 수학적 사고를 하고 살아가고 있는가?

 

- 답을 찾기 위해 노력하는 것보다 답을 찾아 가는 과정에서 수학적 사고로 인해 좋은 질문을 던질 수 있는 수학적인 사고가 필요하다고 한다.

 

- 특강 : 숫자 없이 수학을 이해하기를 읽으면서, 숫자 없이도 수학을 할 수 있다고 했는데, 수체계를 통해 결합, 분배, 컴퓨터의 언어 등등 나오면서 무엇인가? 어렵게 풀려간다. 학교 졸업하고 처음으로 수학책을 읽고, 사고하는 시간을 갖게 되어 그래도 행복하다.

 

먹으면서 수학 풀기 - 숫자 없는 수학